偏序集合的定义
设R是非空集合A上的一个二元关系，若R满足： 自反性、反对称性、传递性，则称R为A上的偏序关系。
以下为定义： 给定集合S，“≤”是S上的二元关系，若“≤”满足：
自反性：∀a∈S，有a≤a；
反对称性：∀a，b∈S，a≤b且b≤a，则a=b；
传递性：∀a，b，c∈S，a≤b且b≤c，则a≤c；
则称“≤”是S上的非严格偏序或自反偏序。 给定集合S，“<”是S上的二元关系，若“<”满足：
反自反性：∀a∈S，有a≮a；
非对称性：∀a，b∈S，a<b ⇒ b≮a；
传递性：∀a，b，c∈S，a<b且b<c，则a<c；
则称“<”是S上的严格偏序或反自反偏序。
严格偏序与有向无环图(dag)有直接的对应关系。一个集合上的严格偏序的关系图就是一个有向无环图。其传递闭包是它自己。
下面是一些主要的例子 :
自然数的集合配备了它的自然次序(小于等于关系)。这个偏序是全序。
整数的集合配备了它的自然次序。这个偏序是全序。
自然数的集合的有限子集 {1, 2, ..., n}。这个偏序是全序。
自然数的集合配备了整除关系。
给定集合的子集的集合(它的幂集)按包含排序。
向量空间的子空间的集合按包含来排序。
一般的说偏序集合的两个元素 x 和 y 可以处于四个相互排斥的关联中任何一个: 要么 x < y，要么 x = y，要么 x > y，要么 x 和 y 是“不可比较”的(三个都不是)。全序集合是用规则排除第四种可能的集合: 所有元素对都是可比较的，并且声称三分法成立。自然数、整数、有理数和实数都关于它们代数(有符号)大小是全序的，而复数不是。这不是说复数不能全序排序；比如我们可以按词典次序排序它们，通过 x+iy < u+iv 当且仅当 x < u 或 (x = u 且 y < v)，但是这种排序没有合理的大小意义因为它使得 1 大于 100i。按绝对大小排序它们产生在其中所有对都是可比较的预序，但这不是偏序因为 1 和 i 有相同的绝对大小但却不相等，违反了反对称性。
