求解第七题如何证明。
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求出两个偏导数：
zx=y·x^(y-1)·y^x+x^y·y^x·lny
zy=x^y·lnx·y^x+x^y·x·y^(x-1)
∴x·zx=y·x^y·y^x+x^y·y^x·xlny
=z(y+xlny)
y·zy=y·x^y·y^x·lnx+x^y·y^x·x
=z(x+ylnx)
∴x·zx+y·zx=z(x+y+xlny+ylnx)
=z[x+y+ln(x^y·y^x)]
=z(x+y+lnz)
zx=y·x^(y-1)·y^x+x^y·y^x·lny
zy=x^y·lnx·y^x+x^y·x·y^(x-1)
∴x·zx=y·x^y·y^x+x^y·y^x·xlny
=z(y+xlny)
y·zy=y·x^y·y^x·lnx+x^y·y^x·x
=z(x+ylnx)
∴x·zx+y·zx=z(x+y+xlny+ylnx)
=z[x+y+ln(x^y·y^x)]
=z(x+y+lnz)
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追问
感谢您的解答。😊
追答
或者，直接对数求导法
lnz=ylnx+xlny
1/z·zx=y/x+lny
∴zx=z(y/x+lny)
同理，zy=z(x/y+lnx)
代入即可
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