Question

急！！！求函数f(x)=2+2sinxcosx+sinx+cosx的最大值和最小值

详细过程，谢谢

Answer 1

f(x)=2+2sinxcosx+sinx+cosx
=sin^2 x +cos^2 x+2sinxcosx+sinx+cosx+1
=(sinx+cosx)^2+(sinx+cosx)+1
令u=sinx+cosx
=√2·[(√2/2)·sinx+(√2/2)·cosx]
=√2·[cos(π/4)·sinx+sin(π/4)·cosx]
=√2·sin(x+π/4).
∵-1≤sin(x+π/4)≤1,
∴－√2≤√2·sin(x+π/4)≤√2
即u∈[-√2,√2].
则f(x)=(sinx+cosx)^2+(sinx+cosx)+1
=u^2+u+1.
令其等于F(u),即
F(u)=u^2+u+1
=(u+1/2)^2 +3/4
是一个关于u的二次函数;定义域为u∈[-√2,√2].

通过比较分析可知,其
最小值为f(x1)=F(-1/2)=3/4;
最大值为f(x2)=F(√2)=(√2)^2+√2+1=3+√2.

Answer 2

换元，设t=sinx+cosx.则一方面，两边平方得：2sinxcosx=t^2-1.另一方面知：t=√2sin(x+π/4).===>-√2≤t≤√2.故问题可化为求二次函数f(t)=t^2+t+1=(t+1/2)^2+3/4在[-√2,√2]上的极值。易求得，f(t)min=f(-1/2)=3/4.f(t)max=f(√2)=3+√2.故f(x)min=3/4,f(x)max=3+√2.

Answer 3

化简 f(x)=2+2sinxcosx+sinx+cosx
=1+(sin+cosx)^2+sinx+cosx
令t=sinx+cosx=根号2*sin(x+4分之派)
所以f(x)=t^2+t+1=(t+1/2)^2+3/4可得最小值就是 3/4
最大值就是t=根号2时 为 3+根号2
注意 1+2sinxcosx=(sinx+cosx)^2

Answer 4

令t=sinx+cosx=2^0.5sin(x+45) 所以t属于正负根号2；
f(x)=t^2+t+1=(t+0.5)^2+0.75

所以当t=-0.5时，f(x)最小值为0.75；
当t=根号2时，有最大值，我不求了；