Question

设函数fx=(x2-2ax)㏑x+bx2，当b=2时，若对任意x∈[1,+∞),不等式2fx>3x

设函数fx=(x2-2ax)㏑x+bx2，当b=2时，若对任意x∈[1,+∞),不等式2fx>3x2+a恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

题目：
设函数f(x)=(x²-2ax)lnx+bx²。当b=2时，若对任意x∈[1，+∞)，不等式2f(x)>3x²+a恒成立。求a的取值范围。

解析：

2[(x²-2ax)lnx+2x²]>(3x²+a)在[1，+∞)上恒成立
即，
2(x²-2ax)lnx+x²-a>0
2x²lnx+x²>(4xlnx+1)a
∵ x≥1时，4xlnx+1>0
∴ x²(2lnx+1)/(4xlnx+1)>a

令g(x)=x²(2lnx+1)/(4xlnx+1)
此为“A/B”
g'(x)=(A'B-AB')/B²
//后续只需关注A'B-AB'的符号//
A'
=[x²(2lnx+1)]'
=2x*(2lnx+1)+x²*(2/x)
=2x*(2lnx+1)+2x
=2x*(2lnx+2)
=4x(lnx+1)
B'=
=(4xlnx+1)'
=4lnx+4x*(1/x)
=4(lnx+1)
A'B-AB'
=4x(lnx+1)*(4xlnx+1)-x²(2lnx+1)*4(lnx+1)
=4x(lnx+1)[4xlnx+1-x(2lnx+1)]
=4x(lnx+1)(2xlnx+1-x)
=4x(lnx+1)●[2xlnx-(x-1)]

设h(x)=2xlnx-(x-1)
h'(x)
=2(1+lnx)-1
=2lnx+1
>0
∴ h(x)在[1，+∞)上单调递增
而h(1)=0
∴ h(x)≥h(1)=0
∴ A'B-AB'≥0
∴ g'(x)≥0
∴ g(x)在[1，0)上单调递增
g(x)min
=g(1)
=1
∴ a<g(x)min=1
即，
a的取值范围是：(-∞，1)