Question

在三角形ABC中，abc分别是角ABC所对的边 ，且满足a=3bcosC 1.求tanC/tanB的值 2.

在三角形ABC中，abc分别是角ABC所对的边 ，且满足a=3bcosC 1.求tanC/tanB的值 2.
若a=3,tanA=3求三角形ABC的面积
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问题补充：在三角形ABC中，abc分别是角ABC所对的边
，且满足a=3bcosC
1.求tanC/tanB的值
2.若a=3,tanA=3求三角形ABC的面积

Answer 1

1.

a=3bcosC，由正弦定理得sinA=3sinBcosC

sin(B+C)=3sinBcosC

sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC

cosBsinC=2sinBcosC

等式两边同除以cosBcosC

tanC=2tanB

tanC/tanB=2

2.

tanC/tanB=2

tanB、tanC同号，三角形中至多有一个直角或钝角，因此B、C均为锐角

tanB>0，tanC>0

tanA=-tan(B+C)

=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)

=-(tanB+2tanB)/(1-tanB·2tanB)

=-3tanB/(1-2tan²B)

=3

2tan²B-tanB-1=0

(2tanB+1)(tanB-1)=0

tanB=-½(舍去)或tanB=1

B=π/4

tanC=2tanB=2，sinC=2/√(2²+1²)=2√5/5

tanA=3，sinA=3/√(3²+1²)=3√10/10

由正弦定理得：a/sinA=c/sinC

c=asinC/sinA=3·(2√5/5)/(3√10/10)=2√2

S△ABC=½acsinB=½·3·2√2·sin(π/4)=½·3·2√2·(√2/2)=3

三角形ABC的面积为3