Question

若x,y均为正数且x+y-3xy+5=0.求xy的最小值

Answer 1

解：
x+y-3xy+5=0
(3y-1)x=y+5
x>0，y>0，y+5>0，要等式成立，3y-1>0，y>⅓
x=(y+5)/(3y-1)
xy=(y+5)y/(3y-1)
=(y²+5y)/(3y-1)
=[y²-⅓y+(16/3)y-(16/9)+(16/9)]/(3y-1)
=[⅓y(3y-1)+(16/9)(3y-1)+ (16/9)]/(3y-1)
=⅓y +(16/9) +(16/9)/(3y-1)
=(1/9)(3y-1) +(16/9)/(3y-1) +17/9
由均值不等式得：(1/9)(3y-1) +(16/9)/(3y-1)≥2√[(1/9)(3y-1)·(16/9)/(3y-1)]=8/9
xy≥8/9 +17/9=25/9
xy的最小值为25/9

Answer 2

∵x＞0，y＞0
∴x+y≥2√(xy)
令√(xy)=u【u＞0】
x+y≥2u
∵x+y-3xy+5=0
∴2u-3u²+5≤0
即：3u²-2u-5≥0
解此不等式，u≥5/3或u≤-1【舍去】
∴u的最小值是5/3
xy=u²
xy的最小值是25/9

Answer 3

代入法，x+y+5=3xy，因此当X=1，y=3时，等式成立，故XY=3为最小值