Question

数列，。。

Answer 1

已知a(n+1)=3a(n)+2n-1……(式1). 答案是a(n)=3ⁿ-n. 推导的关键步骤是[a(n+1)+(n+1)]/(a(n)+n)=3……(式2)为定值. 再往前倒推, 怎样从(式1)到(式2)这样的形式呢? 这才是关键.
数列有三种表达方式, 其中一种就是这样的通项表达式. 往往通项是抽象的, 需要用不同的n值来理解这样的映射规律ƒ到底代表了什么. 数列有基本单一数列, 混和数列, 和带有某种固定计算法则的数列. 和数列与积数列就是这第三种数列.
观察本题, 如果通项是a(n+1)=3a(n), 那这个就是基本的单一数列: 等比数列. 等比数列不能只记住n项的公式, 还要注意怎么来的, 是[a(1)/a(2)][a(2)/a(3)][a(3)/a(4)]……[a(n-1)/a(n)]=q^n. 但(式1)有等比关系, 但还有2n-1这变量. 如果按这个原理, 我们改写(式1)后得到[a(n+1)-(2n-1)]/a(n)=3, 但这样的该法,从a(1),a(2)………a(n)是没有办法实现分子分母即约的.不能得到a(1)和a(n),而是a(2),a(3)……a(n-1)都还存在.
因此我们要重新考虑怎么处理2n-1. 为了能即约, 最好出现分子分母结构相同的形式. 比如[a(n+1)+x(n+1)]=3[a(n)+y(n)], 只要x=y就能约掉a(2),a(3)……a(n-1)所有的项, 只留下a(1)和a(n). 根据本题, 不难发现x=y=-1就能满足要求.由此得出(式2).
也因此发现,2n-1的来源是x=y=-1起了作用, 因此如果把x=y=k,和q代入式1,就可以得到一个更一般的通项式,a(n+1)=qa(n)+k(qn-n-1)……(式3),其中q为公比,k为常数.这样等比数列的变形都可以用类似方法推导了, 也能解释为什么是2n-1.
能把(式1)化成更抽象的(式3),才能更加好的吃透本题的含义.

Answer 2

解：
a(n+1)=3an+2n-1=3an-(n+1)+3n
a(n+1)+(n+1)=3an+3n=3(an+n)
[a(n+1)+(n+1)]/(an+n)=3，为定值
a1+1=2+1=3
数列{an+n}是以3为首项，3为公比的等比数列
an+n=3·3ⁿ⁻¹=3ⁿ
an=3ⁿ-n
n=1时，a1=3-1=2，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ-n

Answer 3

Answer 4

因为
[a (n+1) +(n+1)]/[a (n) +n ] =[3 a (n) +2n-1+(n+1) ]/[a (n) +n]=3

所以数列{a (n) +n}是公比为3的等比数列,又有a(1)=2,所以a (n) +n首项为2+1=3
∴得a(n)+n=3*3^(n-1) =3^(n)
则a(n)=3^(n) -n