Question

(e∧-2x)sin（x/2）的不定积分

Answer 1

I=∫e^(-2x)sin(x/2)dx

=2∫e^(-2x)dcos(x/2)

=2e^(-2x)cos(x/2)+4∫e^(-2x)cos(x/2)dx

=2e^(-2x)cos(x/2)+8∫e^(-2x)dsin(x/2)

=2e^(-2x)cos(x/2)+8e^(-2x)sin(x/2)+16∫e^(-2x)sin(x/2)dx

= -(2/17)[4sin(x/2)+cos(x/2)]e^(-2x)

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

I=∫e^(-2x)sin(x/2)dx
=2∫e^(-2x)dcos(x/2)
=2e^(-2x)cos(x/2)+4∫e^(-2x)cos(x/2)dx
=省略+8∫e^(-2x)dsin(x/2)
=省略+8e^(-2x)sin(x/2)+16∫e^(-2x)sin(x/2)dx
-17I=.
I= -(2/17)[4sin(x/2)+cos(x/2)]e^(-2x)

Answer 3

I=∫e^(-2x)sin(x/2)dx

=-2∫e^(-2x)dcos(x/2)

=-2e^(-2x)cos(x/2)-4∫e^(-2x)cos(x/2)dx

=-2e^(-2x)cos(x/2)-8∫e^(-2x)dsin(x/2)

=-2e^(-2x)cos(x/2)-8e^(-2x)sin(x/2)-16∫e^(-2x)sin(x/2)dx

= -(2/17)[4sin(x/2)+cos(x/2)]e^(-2x)

楼上，第一步化错了，少了负号

Answer 4

分部积分法，图片中的中间结果可以作为公式使用(图片)

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