Question

一道高数证明题

Answer 1

解：
1)

f'x(0,0)
=lim(x,y→0) [f(Δx,0)-f(0,0)]/Δx
=lim(x,y→0) Δx²sin(1/Δx²) / Δx
=lim(x,y→0) Δxsin(1/Δx²)
-Δx≤Δxsin(1/Δx²)≤Δx
由夹逼准则：
f'x(0,0)=0
同理：f'y(0,0)=0
令：o(ρ)=(Δx²+Δy²)·sin[1/(Δx²+Δy²)]
而：
lim(x,y→0) o(ρ) / √(Δx²+Δy²)
=lim(x,y→0) √(Δx²+Δy²)·sin[1/(Δx²+Δy²)]
-√(Δx²+Δy²)≤√(Δx²+Δy²)·sin[1/(Δx²+Δy²)]≤√(Δx²+Δy²)
由夹逼准则：
lim(x,y→0) o(ρ) / √(Δx²+Δy²)

=0
所以该函数在(0,0)可微
dz=0
2)
f'x(x,y)
=2x·sin[1/(x²+y²)]-2x·cos[1/(x²+y²)]/(x²+y²)

显然是不连续的，因为在x²+y²=0处，sin[1/(x²+y²)]和cos[1/(x²+y²)]是振荡间断点
同理，f'y(x,y)类似
因此：
f'x(x,y)和f'y(x,y)在(0,0)不连续！