Question

求解4到6题

Answer 1

解：f'(x)=1-1/(x-1)²。
设x=t点处的切线为y=f'(t)(x-t)+f(t)
即y=[1-1/(t-1)²](x-t)+t+1/(t-1)=x-x/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)
它与x=1的交点：将x=1代入有
y=1-1/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)=1+(-1+t+t-1)/(t-1)²=1+(2t-2)/(t-1)²=1+2/(t-1)，
即交点在(1，1+2/(t-1))，
它与y=x的交点：将y=x代入有x=x-x/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)有x=(t-1)²[t/(t-1)²+1/(t-1)]=t+t-1=2t-1，
交点在(2t-1，2t-1)，
y=x与x=1的交点在(1，1)，
所以该三角形的面积S=1/2×|[1+2/(t-1)-1]×[2t-1-1]|=1/2×|2/(t-1) ×2(t-1)|=2为定值。