Question

已知△OAB中,点C是以A为中心的B的对称点,D在线段OB上,且|OD|:|DB|=2:1,DC和OA交于点E,设向量OA=a,向量OB=b

⑴用a,b表示向量OC,向量DC.
⑵若向量OE=λ向量OA,求实数λ的值.

Answer 1

(1)延长OA到F，使AF=OA，连接BF、CF。
向量OC+向量OB=向量OF=2向量OA
所以向量OC=2向量OA-向量OB=2a-b。
向量DC=向量OC-向量OD，由已知得：向量OD=2/3向量OB=2/3b
所以向量DC=2a-b-2/3b=2a-5/6b
(2)延长CD交FB延长线与G。
由于A为OF和CB中点，可以证明OC平行FG，
所以通过证相似 可以得出OC=FB且OC:BG=OD:DB=2:1
所以BG=1/2BF，所以FG=3BG=3/2*OC，即OC:FG=2:3
在三角形OCE和三角形FGE中(证两者相似)
OE:EF=OC:FG=2:3，所以OE:OF=2:5
又因为OA=1/2*OF，所以OE:OA=4:5，即λ=0.8