将函数d((e^x-1)/x)/dx展开成x的幂级数,并证明级数n=1到无穷 n/(n+1)!=1
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按泰勒级数展开 e^x=1+x+x^2/2+...+(x^n)/(n!) (n从0到无穷大)
∴e^x-1=x+x^2/2+x^3/6+...+(x^n)/(n!) (n从0到无穷大)
∴(e^x-1)/x=1+x/2+x^2/6+..+[x^(n-1)]/(n!) (n从1到无穷大)
对其求导有 f(x)=1/2+1/3x+...+(n-1)/(n!)x^(n-2) (n从2到无穷大)
即为幂级数 ∑ (n-1)/(n!)x^(n-2) (n从2到无穷大)
∴e^x-1=x+x^2/2+x^3/6+...+(x^n)/(n!) (n从0到无穷大)
∴(e^x-1)/x=1+x/2+x^2/6+..+[x^(n-1)]/(n!) (n从1到无穷大)
对其求导有 f(x)=1/2+1/3x+...+(n-1)/(n!)x^(n-2) (n从2到无穷大)
即为幂级数 ∑ (n-1)/(n!)x^(n-2) (n从2到无穷大)
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