Question

直线y=x+1是曲线y=x^3+3x^2+4x+a的切线求切点坐标和a 的值

Answer 1

y=x^3+3x^2+4x+a的切线斜率 k=y'=3x^2+6x+4,
应与直线斜率等，即 y'=1
解 3x^2+6x+4=1, 可得 x=-1，从而y=0,
所以切点是 (-1, 0)
切点在曲线y=x^3+3x^2+4x+a上，
所以有0=-1+3-4+a, 可得a=2。
几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。
P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）。
说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。
性质定理
圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。希望我能帮助你解疑释惑。

Answer 2

直线l:y=x+a的斜率k=1

y=x^3-x^2+1

y'=3x^2-2x=k=1

3x^2-2x-1=0

(3x+1)(x-1)=0

x=-1/3或1

x=-1/3,则:y=2

切点坐标及a的值：

x=-1/3,则:y=23/27;
a=y-x=32/27

x=1,则:y=1;
a=y-x=0

上述2个解都是对的。

你画图时，要注意不同切点时，直线方程也不同！

Answer 3

y=x^3+3x^2+4x+a的切线斜率 k=y'=3x^2+6x+4,
应与直线斜率等，即 y'=1
解 3x^2+6x+4=1, 可得 x=-1，从而y=0,
所以切点是 (-1, 0)
切点在曲线y=x^3+3x^2+4x+a上，
所以有0=-1+3-4+a, 可得a=2