Question

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=0,且f'(x)在(a,b)内严格单调增加，证明在(a,b)内f(x)<0

用罗尔定理证明：f(a)=f(b)=0, 存在点c,a<c<b, 使得f'(c)=0. 又f'(x)在(a,b)内严格单调增加，所以(a,c) f'(x)<0, f(x)为减函数；(c,b), f'(x)>0, f(x)为增函数。所以f(x)<f(a)=0请问这样证明正确吗？资料上用的拉格朗日证明。（如图）没有提及可以用罗尔





Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

罗尔定理：如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
对上述问题，必有 ξ1∈(a,b)，使得 f'(ξ1)=0，又f'(ξ)单调递增，ξ∈(a,ξ1) f'(ξ)<0,ξ∈(ξ1,b) f'(ξ)>0,也就是ξ∈(a,ξ1) f(ξ)<f(a)=0;ξ∈(ξ1,b),f(ξ)<f(b)=0,得证。

Answer 3

我觉得可以，罗尔是拉格朗日的特殊情况