Question

∫x²e^(2x)dx

Answer 1

∫x²e^(2x)dx

=-1/2∫xde^(-2x)

=-1/2*xe^(-2x)+1/2∫e^(-2x)dx

=-1/2*xe^(-2x)-1/4*e^(-2x)+C2

=1/2∫x²e^x²dx²

=1/2∫x²de^x²

=1/2x²e^(x²)-1/2∫e^x²dx²

=1/2x²e^(x²)-1/2e^(x²)+C 

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

求不定积分的方法：

1、换元积分法：

可分为第一类换元法与第二类换元法。

第一类换元法（即凑微分法）

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

2、分部积分法

公式：∫udv=uv-∫vdu

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' dx，这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

Answer 2

如图所示

Answer 3

分部积分就是∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)-∫g(x)df(x)

所以原式=-∫x²e^(-2x)d(-2x)
=-∫x²de^(-2x)
=-[x²*e^(-2x)-∫e^(-2x)dx²]
=-x²*e^(-2x)+∫2xe^(-2x)dx
=-x²*e^(-2x)-∫xe^(-2x)d(-2x)
=-x²*e^(-2x)-∫xde^(-2x)
=-x²*e^(-2x)-[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)+∫e^(-2x)dx]
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)-1/2*∫e^(-2x)d(-2x)
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)-1/2*e^(-2x)
=(-x²-x-1/2)*e^(-2x)
=(-x²-x-1/2)/e^(2x)

x趋于无穷，则这是∞/∞，用洛必达法则
分子求导=-2x-1
分母求导=2e^(2x)
还是∞/∞，用洛必达法则
分子求导=-2
分母求导=4e^(2x)
分母趋于无穷
所以x趋于无穷时，(-x²-x-1/2)/e^(2x)极限是0

x=0，(-x²-x-1/2)/e^(2x)=-1/2
所以原式=0-(-1/2)=1/2