Question

[微分方程]如图,答案为什么没有y=0

我解出一个答案是y=0，按道理没办法合并到图2所示的分式中啊，为什么答案没有写明y=0？

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Answer 1

答：y'-xy'-ay'=(1-a-x)y'=ay^2; 方程两边同时除以：ay^2(1-a-x)/dx,得：dy/(ay^2)=dx/(1-a-x); 这一步，就决定了y≠0,x≠1-a; 方程两边除以0，就没有意义，其数值也是不确定。
因此，答案不可能y=0。尽管你可以推导出y=0, 但是，在y=0时，这个函数已经失效了。

追问

我看汤家凤老师的视频中有一道例题是dy/dx=y²，分离变量后为dy/y²=dx，汤老师给出的答案中却为“y=0或y=-1/x+C”呀

追答

抱歉！我前面的回答应该也不确切。实际解微分方程过程中，主要是写出方程的通解。在通解的条件下，一般都包含了函数的特解；而只有当通解的函数在恒不等于0的条件下，才有必要提到y=0的特定条件。从你说的这个例题。当x=1/C，C≠0时，就有y=0的条件存在。因此，没有必要再重复dy/dx=y=0的条件了。根据已知条件，所得到的答案仅仅是y=-1/x; y≠0恒成立，就应该提到y=0也是方程的根。
举个例子：dy/dx=y，通解：lny=x+C1, y=(e^x+C1)=Ce^x（这里C≠0）, 这是一个y恒不等于0的等式。因此有必要提出在微分方程y=0的条件也存在。y=0也是微分方程的解；因为等式是在y≠0的条件下所做的微分方程。
这是我对解微分方程的理解。

Answer 2

y=0确是原方程的一个特解；不过这类解，一般都舍去，因为它没什么用，可写可不写。
求微分方程 y'-xy'=a(y²+y')的通解：
解：(1-x-a)y'=ay²; 分离变量得：dy/y²=adx/(1-x-a);
积分之，得 -1/y=-[aln∣1-a-x∣+c]
即得通解：y=1/[aln∣1-a-x∣+c]
在这里无需声明y≠0.

追问

您的意思是说常数特解都舍去吗？为什么说它们没什么用呢，我理解的是如果这个常数特解∈通解值域内那就可以不写，因为被合并进通解中了。但是如果通解的值域里不包含常数特解的话为啥也要舍去呢

追答

特解y=0中，0是常数，但不要扩大为常数特解，y=c才是
常数特解。在本题中，y=0不是运算出来的，而是直接观察
出来的。正常运算出不来0解，完全可以不理睬。不过你若
要显示你思维严密，写出来当然也不错。

追问

感谢，站在探讨问题的角度上，我想再提一个问题：在进行变量分离时y²会作为分母，那在没有明确保证y≠0的情况下，分离之前是应当考虑y=0的情况的呀？因此不是应当分两种情况来考虑吗：①y=0时：微分方程是成立的(0=0) ②y≠0时：分离变量，算出如图2所示的答案

追答

你很细致。不过在解微分方程时，一般无需特意声明y≠0;

Answer 3

y等于0的确是微分方程的解，是没法合并，答案漏写了。

追问

教材是同济第七版的，这是它的官方习题和答案，里面所有微分方程都只是给出了通解，常数特解不管能否合并都似乎没有给出，是像@wjl371116朋友说的“y=0这类解一般都舍去“吗

追答

只要是解，都可以写出

不用

舍去

而且在考试时也不算你错

Answer 4

(4)y'-xy'=a(y^2+y')
整理得(1-x-a)y'=ay^2,
分离变量得-dy/y^2=-adx/(1-a-x),
积分得1/y=aln|x+a-1|+c,
所以y=1/[aln|x+a-1|+c],
当x-->∞或1-a时y-->0.