Question

大学高等数学，求教，好评谢谢

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Answer 1

前两题考察三角函数降幂公式。

Answer 2

1. 过程如下：
y=(cosx)^2
=(1+cos2x)/2
对其积分：
∫(cosx)^2
=∫(1+cos2x)/2
= 1/2 ∫（1+cos2x）
= 1/2 〔 x + 1/2 sin2x 〕
= x/2 + sin2x /4

追答

2. ∫sin^2xdx=∫(1-cos2x)dx/2=(1/2)∫(1-cos2x)dx=(1/2)(x-sin2x/2)+C
=(2x-sin2x)/4+C

3. lim[1/x -1/(e^x-1)] (x→0)
=lim{(e^x-1-x)/[x(e^x-1)}(x→0)
=lim[(e^x-1-x)/x^2](x→0)…(因为e^x-1~x)
=lim[(e^x-1)/2x](x→0)…(洛必达法则)
=lim(x/2x)……(又用e^x-1~x)
=1/2.

Answer 3

cos^2x=cos(2x)/2+1/2，所以原式=sin(2x)/4+x/2+C。
同理sin^2x=1/2-cos(2x)/2，所以原式=x/2-sin(2x)/4+C。
原式通分后为(e^x-1-x)/[x(e^x-1)]，此为0/0型，分子分母同时求一阶导数得(e^x-1)/(e^x-1+xe^x)，还是0/0型，继续分别求分子分母的导数得e^x/(2e^x+xe^x)，约分后得1/(2+x)，所以当x→0，原式极限为1/2。