Question

不定积分与极限结合的题，如图。

有两处不地方不明白，求解
1 .为什么用洛必达对分子进行求导后，前面多了个2？
2 .最后的极限为什么等于8e？

Answer 1

lim(x->0) [∫(2x-1->2x+1) e^(t^2) dt - ∫(-1->1) e^(t^2) dt ] /x^2
(0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) { (2x+1)'. e^[(2x+1)^2] - (2x-1)' .e^[(2x-1)^2] }/(2x)
=lim(x->0) { 2e^[(2x+1)^2] - 2e^[(2x-1)^2] }/(2x)
=lim(x->0) { e^[(2x+1)^2] - e^[(2x-1)^2] }/x
(0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) { 2(2x+1)(2) .e^[(2x+1)^2] - 2(2x-1)(2).e^[(2x-1)^2] }
=lim(x->0) { 4(2x+1) .e^[(2x+1)^2] - 4(2x-1)e^[(2x-1)^2] }
= 8e