Question

如图，点A，B在⊙O上，OA=OB=12且OA⊥OB点C是OA的中点，点D在OB上且OD=10，

如图，点A，B在⊙O上，OA=OB=12且OA⊥OB点C是OA的中点，点D在OB上且OD=10，动点P在⊙O上，则PC+ 1/2 PD的最小值是多少？

Answer 1

像这种解决带系数的两线段之和的最值问题，一般首先想到运用阿氏圆。

如下图所示，在OA延长线上取点E，使得AE=OA

连接OP，PE。

因为 OC/OP=1/2=OP/OE

从而 △OCP∽△OPE（SAS）

从而，PC/EP=1/2，即 PE=2PC

那么，PE+PD=2PC+PD=2（PC+1/2PD）

那么只要求出 PE+PD 最小值，再除以2 即可得到所求问题的解。

很显然，当P点落在DE连线与圆O的交点 P' 上时，PE+PD取得最小值。

此时，PE+PD=DE=√（OD^2+OE^2）=√（10^2+24^2）=26

那么，PC+1/2PD 的最小值即为 26/2=13。