Question

高数，求积分

Answer 1

设 √[(k-x)/x] = u, 则 (k-x)/x = u^2, x = k/(1+u^2), dx = -2kudu/(1+u^2)^2,
I = -2k∫u^2du/(1+u^2)^2, 令 u = tanv
I = -2k∫(tanv)^2(secv)^2dv/(secv)^4 = -2k∫(tanv)^2(cosv)^2dv
= -2k∫(sinv)^2dv = -k∫(1-cos2v)dv
= -k[v - (1/2)sin2v] + C = -k[v - sinvcosv] + C
= -k[arctanu - u/(1+u^2)] + C
= -karctan√[(k-x)/x] + k√[(k-x)/x]/(k/x) + C
= -k[arctan√[(k-x)/x] + √[x(k-x)] + C

追问

这个函数的定积分范围是[0 x],请问有解啊？

追答

k > 0 时， limarctan√[(k-x)/x] = π/2,
定积分是 -karctan√[(k-x)/x] + √[x(k-x)] + kπ/2；
limarctan√[(k-x)/x] = -π/2,
定积分是 -karctan√[(k-x)/x] + √[x(k-x)] - kπ/2；
k arctan√[(k-x)/x] = -π/2,
定积分是 -karctan√[(k-x)/x] + √[x(k-x)] - kπ/2;

limarctan√[(k-x)/x] = π/2,
定积分是 -karctan√[(k-x)/x] + √[x(k-x)] + kπ/2.

追问

这个可以解吗

追答

该原函数不是初等函数吧。

追问

请问这个0到π的定积分可以解啊？

追答

定积分可解，原函数不一定是初等函数，例如概率积分。

Answer 2