Question

设β1＝α1，β2＝α1＋α2，β3＝α1＋α2＋α3，且向量组α1，α2，α3线性无关，

证明向量组β1，β2，β3线性无关。谢谢各位啦

Answer 1

设l,m,n不全为0，

因为向量组α1，α2，α3线性无关，因此β1，β2，β3线性无关。

Answer 2

用反证法，设β1，β2……βr线性相关。则存在不全为0实数k1,k2,...,kr使得
k1βr+...+krβr=0,即
(k1+k2+...+kr)α1+(k2+...+kr)α2+...+krαr=0,
因为k1,k2,...,kr不全为0,所以k1+...+kr,k2+...+kr,...,kr也不全为0，所以α1，...αr线性相关。矛盾。