Question

幂指函数求极限凑第二个重要极限，幂的极限为什么可以先求

百度幂指函数，有这么一段说是幂指函数底的极限不能先求出来
但是张宇十八讲中有一段推导公式
先把底的极限e求出来了
我的问题就是为什么推导公式中可以先求底的极限？
我觉得按道理讲，是不可以先把底给常数话的，毕竟他们是一起趋向的，但是这种解法又没有错，汤家凤的视频里也有说到求1的无穷型极限的时候可以凑第二个重要极限，外面套的指数也是带自变量x的，谁能帮我弄清楚这个问题吗

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Answer 1

如图所示：

追问

是可以这么推没错，我想请问用图上那种推导式的推倒过程是不是成立的

追答

没错，它那个是直接凑出e的基本公式(第二个重要极限)，和取对数的方式等价。前提还是要满足1^∞这个不定式。

追问

它在凑出第二个重要极限的时候，（1+x)的1/x 次方外面又加了自变量，这样就是一个嵌套的幂指函数了，请问为什么他可以先把这个幂指函数的幂给换成e呢

追答

没影响，因为里面已经凑出e的形式，可以取极限了，极限就是e。
所以就可以化简为e^[lim g(x)]这种形式继续计算。

追问

我理解这应该可以看做是在求极限的过程中先把部分的极限给求出带入成常数了，按道理是不可以这么操作的呀

追答

只要极限存在的话，就可以直接代入。给你看几个反例吧

可以看到成立条件是内层和外层的函数极限都要存在，否则直接代入公式就会不对了

追问

谢谢您的回答，好多天忘记上了