Question

关于分段函数极限

一个分段函数在0时变化
那么当x→0+时函数极限是不存在吗
还是按照大于0的式子带入0计算

Answer 1

按照x>0时的函数表达式去计算x→0+的极限，如果极限存在，则表明x=0处右极限存在。如果x→0-时的左极限也存在，且二者相等，则可以说函数在x=0处极限存在。

求函数值域：

求函数f(x)= 的值域。

解：当-2≤x≤a时，x2 的取值有三种情形：

（1）当-2≤a<0时,有a2≤x2≤4 。

(2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4 。

(3)当a>2时,有0≤x2≤a2。

当x>a时，-|x|的取值有两种情形：

（1）当-2≤a<0时，有-|x|≤0。

（2）当a≥0时，有－|x|<-a 。

所以原函数的值域为：

（1）当-2≤a<0时,为(-∞,0]∪[a2,4] 。

（2）当0≤a≤2时,为(-∞,-a)∪[0,4]。

（3）当a>2时,为(-∞,-a)∪[0,a2]。

求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。

Answer 2

按照x>0时的函数表达式去计算x→0+的极限，如果极限存在，则表明x=0处右极限存在。如果x→0-时的左极限也存在，且二者相等，则可以说函数在x=0处极限存在。

Answer 3

对于分段函数的分段点，可以先求左极限，再求右极限，如果两个极限都存在，并且相等，则称该函数在该点的极限存在；对于非分段点，直接求极限即可（当然非分段点极限也可能不存在）