Question

为什么4x^3-3x^2+2x-1=0在（0，1）没有导数？

Answer 1

令f(x)=4x³-3x²+2x-1
求导：f ′(x)=12x²-6x+2=12(x²-1/2x)+2=12(x-1/4)²+5/4≥5/4
f(x)在R上单调增
f(0)=-1＜0
f(1)=4-3+2-1=2＞0
∴ f(x)的唯一零点在x∈（0，1)区间
∴ 方程有唯一解 在x∈（0，1）

Answer 2

x>0时， f'(x)=[x*4x/(1+2x²)-ln(1+2x²)]/x²=[4x²-(1+2x²)ln(1+2x²)]/[x²(1+2x²)]
为方便求x-->0+时的极限，令u=1+2x²， 则u-->1,
f'(x)化为： 2[2(u-1)-ulnu]/[(u-1)u]
当u-->1时， 应用罗必达法则，上式=lim 2[2-lnu-1]/(2u-1)=2(1-0)/(2-1)=2
因此f'(0+)=2
x<0时， f'(x)=(4/3)(1+x²)^(1/3)*2x+2cos2x
f'(0-)=2
所以f'(0-)=f(0+)=2。

f(0+)=lim 4x/(1+2x²)=0
f(0)=f(0-)=1+0-1=0
在x=0处连续。

所以在x=0处可导。