Question

lim(x趋于0时)[(e^x+e^2x+e^3x+……e^nx)/n]^(1/x)的极限是多少？其中n为有限值。

Answer 1

用等价无穷小ln（1+x）=x和洛必达法则即可，
它的极限为e
^
(n+1)/2
原式=exp{lim{1/x*ln[1+(e^x+e^2x+...+e^nx-n)/n]}}
x->0
=exp[lim(e^x+e^2x+...+e^nx-n)/nx]
-----0/0型
x->0
=exp[lim(e^x+2e^2x+...+ne^nx)/n]
x->0
=exp(n+1/2)
----x->0时e^x=1
即它的极限为e
^
[(n+1)/2]
这个是1991年的数学三的考研原题吧。

Answer 2

用等价无穷小ln（1+x）=x
和洛必达法则即可，
它的极限为e
^
(n+1)/2
原式=exp{lim{1/x*ln[1+(e^x+e^2x+...+e^nx-n)/n]}}
x->0
=exp[lim(e^x+e^2x+...+e^nx-n)/nx]
-----0/0型
x->0
=exp[lim(e^x+2e^2x+...+ne^nx)/n]
x->0
=exp(n+1/2)
----x->0时e^x=1
即它的极限为e
^
[(n+1)/2]