Question

已知:x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=2,x^3+y^3+z^3=3,求1/x+1/y+1/z的值

Answer 1

(1/x
+
1/2)/:
yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2
=
-1
将关系式F
代入到关系式E中
3*(-1)
+
6xyz
=
-2
G;6
将关系式
D
和
G
代入所求式子中
1/xyz
=
(-1/z
=
(xy+yz+zx)/:
x^3+y^3+z^3=3
方程
A
两端同时平方
得到
(x+y+z)^2
=
1
x^2
+
y^2
+
z^2
+
2(xy+yz+zx)
=
1
将方程B
代入到上面式子中
得到
2
+
2(xy+yz+zx)
=
1
D;y
+
1/xyz
因此想办法求
xy+yz+zx
以及
xyz
A;x
+
1/:
xyz
=
1/:
x+y+z=1
B:
3(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
+
6xyz
=
-2
方程A和B相乘
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)
=
1*2
x^3
+
y^3
+
z^3
+
(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
=
2
方程C代入到上面式子中
3
+
(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
=
2
F;2
对方程A两端同时立方
得到
(x+y+z)^3
=
1
x^3
+
y^3
+
z^3
+
3(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
+
6xyz
=
1
将方程C代入
3
+
3(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
+
6xyz
=
1
E:
xy+yz+zx
=
-1/:
x^2+y^2+z^2=2
C;z
=
(xy+yz+zx)/y
+
1/首先
1/

Answer 2

首先
1/x
+
1/y
+
1/z
=
(xy+yz+zx)/xyz
因此想办法求
xy+yz+zx
以及
xyz
A:
x+y+z=1
B:
x^2+y^2+z^2=2
C:
x^3+y^3+z^3=3
方程
A
两端同时平方
得到
(x+y+z)^2
=
1
x^2
+
y^2
+
z^2
+
2(xy+yz+zx)
=
1
将方程B
代入到上面式子中
得到
2
+
2(xy+yz+zx)
=
1
D:
xy+yz+zx
=
-1/2
对方程A两端同时立方
得到
(x+y+z)^3
=
1
x^3
+
y^3
+
z^3
+
3(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
+
6xyz
=
1
将方程C代入
3
+
3(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
+
6xyz
=
1
E:
3(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
+
6xyz
=
-2
方程A和B相乘
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)
=
1*2
x^3
+
y^3
+
z^3
+
(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
=
2
方程C代入到上面式子中
3
+
(yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2)
=
2
F:
yx^2+zx^2
+
xy^2+zy^2
+
xz^2+yz^2
=
-1
将关系式F
代入到关系式E中
3*(-1)
+
6xyz
=
-2
G:
xyz
=
1/6
将关系式
D
和
G
代入所求式子中
1/x
+
1/y
+
1/z
=
(xy+yz+zx)/xyz
=
(-1/2)/(1/6)
=
-3