Question

已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0（t属于R）的图形是圆

Answer 1

你好：
解：
（1）已知方程可化为：
（x－t－3）^2＋（y＋1－4t^2）^2＝（t＋3）^2＋（1－4t^2）^2－16t^4－9
所以r^2＝－7t^2＋6t＋1＞0，即7t^2－6t－1＜0
解之得：－1/7＜t＜1
（2）r＝√（－7t＋6t＋1）＝√〔－7（t－3/7）^2＋16/7〕
当t＝3/7∈（－1/7，1）时，rmax＝（4√7）/7，
此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：
（x－24/7）^2＋（y＋13/49）^2＝16/7
（3）当且仅当t^2＋1＜－7t^2＋6t＋1时，点P恒在圆内
所以8t^2－6t＜0，即0＜t＜3/4．

Answer 2

圆心的坐标为（t＋3，4t^2－1）.
半径
r^2＝（t+3）^2+（1-4t^2）^2-（16t^4+9）＝－7t^2＋6t＋1
因为点P恒在所给圆内，所以（t＋3－3）^2＋（4t^2－1－4t^2）^2<-7t^2+6t+1
即4t^2－3t<0，
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Answer 3

若点P(3,4t^2)恒在所给园内，那么4t^2的取值范围应该在x=3时所给圆的上下两个y坐标值之间。而且x=3也在圆的x坐标值之内。
将x=3代入圆方程，有
y^2+2(1-4t^2)y+16t^2+6t+36=0
y=(4t^2-1)±√(16t^4-24t^2-6t-35)
所以(4t^2-1)-√(16t^4-24t^2-6t-35)<4t^2<(4t^2-1)+√(16t^4-24t^2-6t-35)
所以-1-√(16t^4-24t^2-6t-35)<0<-1+√(16t^4-24t^2-6t-35)
不等式左边显然恒成立，右边只需
1<√(16t^4-24t^2-6t-35)
即
0<16t^4-24t^2-6t-36=16(t^2-3/4)^2-6t-45恒成立
所以6t+45<0
=>
t<-7.5
讨论：
x^2+y^2-2(t+3)x+2(1-4t^2)y+16t^2+9=0
=>[x-(t+3)]^2+[y+(1-4t^2)]^2=(16t^4-23t^2+1)
所以该圆圆心是(t+3,4t^2-1)，半径是√(16t^4-23t^2+1)。
所以t+3-√(16t^4-23t^2+1)<3
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