Question

对角线互相垂直且平分每一组对角的四边形是菱形吗

Answer 1

【是菱形】
设四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形。
证明：
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠AOD=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAO=∠DAO，
又∵AO=AO，
∴△AOB≌△AOD（ASA）
∴AB=AD，∠ABO=∠ADO，
∵BD平分∠ABC和∠ADC
∴∠ABO=∠CBO，∠ADO=∠CDO，
∴∠ABO=∠CDO，∠ADO=∠CBO，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形（菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

Answer 2

角线互相垂直且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形不是真命题。
四边形abcd，ab=ad，cb=cd，ab不等于cd，也满足上条件。