Question

如图,三角形ABC中,AB=BC,BE垂直AC于点E,AD垂直BC于点D,角BAD=45度,AD与BE交于点F,连接CE,求证BF=2AE

Answer 1

因为2AE＝AC，所以原问题转为证明BF=AC，观察直角三角形BFD与直角三角形ACD，二者有可能全等。
证明：因为AD垂直BC、BE垂直AC，所以角BDF＝角ADC＝角AEF＝90度，角FAE＝角CAD，所以三角形AFE于三角形ACD相似，所以角BFD＝角AFE（对顶角）＝角ACD，又因为三角形ABD是直角三角形且角BAD＝45度，所以三角形ABD是等腰直角三角形，AD＝BD。
综上，角BDF＝角ADC＝90度、角BFD＝角ACD、AD＝BD，所以直角三角形BFD与直角三角形ACD全等，所以其对应的斜边BF=AC＝2AE。证毕。

Answer 2

因为2AE＝AC，所以原问题转为证明BF=AC，观察直角三角形BFD与直角三角形ACD，二者有可能全等。
证明：因为AD垂直BC、BE垂直AC，所以角BDF＝角ADC＝角AEF＝90度，角FAE＝角CAD，所以三角形AFE于三角形ACD相似，所以角BFD＝角AFE（对顶角）＝角ACD，又因为三角形ABD是直角三角形且角BAD＝45度，所以三角形ABD是等腰直角三角形，AD＝BD。
综上，角BDF＝角ADC＝90度、角BFD＝角ACD、AD＝BD，所以直角三角形BFD与直角三角形ACD全等，所以其对应的斜边BF=AC＝2AE。证毕。

Answer 3

∵AD⊥BC,∠BAD=45°，∴⊿ADB是等腰直角三角形，AD=BD；
∵AB=BC，BE⊥AC,，∴AE=EC,，AC=2AE，
∵Rt⊿EBC与Rt⊿DAC有公用锐角∠C,，∴∠EBC=∠DAC，
可证Rt⊿DBF≌Rt⊿DAC,，得BF=AC=2AE。