Question

若a>0,b>0,且1/a+1/b=ab 求a的三次方加b的三次方的最小值是否存在ab使得

Answer 1

∵a的3次方
+3ab+b的3次方
=1
→(a+b)的3次方-3a的2次方b-3ab的2次方
+3ab-1=0
→(a+b-1)的3次方+3(a+b)的2次方-3(a+b)-3a的2次方b
-3ab的2次方+3ab=0
→(a+b-1)的3次方
+3(a+b)(a+b-1)-3ab(a+b-1)=0
→(a+b-1)的3次方
+(a+b-1)[3(a+b)-3ab]=0
→(a+b-1)[(a+b-1)的2次方
+3(a+b)-3ab]=0
到了这一步,两个数相乘等于零,那么一定有其中一个是
零
∴a+b-1=0或(a+b-1)的2次方
+3(a+b)-3ab=0
由(a+b-1)=0得a+b=1
由(a+b-1)的2次方
+3(a+b)-3ab=0
→a的2次方+2ab+b的2次方
-2(a+b)+1+3(a+b)-3ab=0
→a的2次方
+2ab+b的2次方
-2a-2b+1+3a+3b-3ab=0
→a
的2次方+b的2次方
-ab+a+b+1=0
等式两边同时乘以2得:
2a的2次方+2b的2次方-2ab+2a+2b+2=0
∴(a-b)的2次方+(a+1)的2次方+(b+1)的2次方=0
∴(a-b)=0;a+1=0;b+1=0
∴a=b=-1
∴a+b=-2
因此此题中a+b=1或a+b=-2

Answer 2

(1)
1/a+1/b=ab
→a+b=a²b²≤[(a+b)/2]^4
→(a+b)[(a+b)³-16]≥0
∴(a+b)³≥16.
依权方和不等式得
a³+b³
=a³/1²+b³/1²
≥(a+b)³/(1+1)²
=16/4
=4，
故a³=b³=2时，
所求最小值为:4.
(2)
对不定方程a+3b=6观察知，
a=3，b=1是方程一组特解，
故原不定方程整数通解为
a=3-3t，b=1+t.
检验:(3-3t)+3(1+t)=6。