Question

设β是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，

Answer 1

反证法，如果向量组α1，α2.……αn-r，β线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,.……,kn-r,k使得
k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r+k*β=0。如果k不等于0，那么移项过去，β可以由向量组α1，α2.……αn-r线性表示，因为α1，α2.……αn-r是对应齐次方程组的一个解的基础解系，那么β也是齐次方程组的一个解，这与题设β是非齐次线性方程组Ax=b的解向量相矛盾；那么只有k=0，那么存在不全为零的数k1,k2,.……,kn-r使得k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r=0，因为α1，α2.……αn-r线性无关，所以对于不全为0的k1,k2,.……,kn-r，k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r不等于0，等式不成立，与假设α1，α2.……αn-r，β线性相关矛盾，所以α1，α2.……αn-r，β线性无关。

Answer 2

证:
设
k1α1+k2α2+......,+kn-rαn-r+kβ
=
0.
(*)
用a左乘等式两边得
k1aα1+k2aα2+......,+kn-raαn-r+kaβ
=
0.
由已知
β是非齐次线性方程组ax=b的解,
α1，α2，...,αn-r是ax=0的解，
所以
aαi=0,
i=1,2,...,n-r,
aβ
=
b
所以有
0
+
0
+....+0+
kb
=
0
由b不等于0,
得
k=0.
代入(*)式得
k1α1+k2α2+......,+kn-rαn-r
=
0
而α1，α2，...,αn-r是对应的齐次线性方程组ax=0的基础解系，是线性无关的
所以
k1=k2=...=kn-r=0.
即,
若
k1α1+k2α2+......,+kn-rαn-r+kβ
=
0.
(*)
则必有
k
=
k1=k2=...=kn-r=0.
所以
β，α1，α2，...,αn-r线性无关.
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