Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，对任意n属于正整数，点（n,Sn)都在函数f(x)=2x^2-x的图像上，

Answer 1

(1)Sn=n^2+2n
an=Sn-S(n-1)=2n+1
(2)f'(x)=2x+2
那么过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为Kn=2n+2
所以bn=(2^Kn)an=(2n+1)*2^(2n+2)=4*(2n+1)*4^n7=4[(2n+1)*4^n]=4[2n*4^n+4^n]=8n*4^n+4*4^n
先求n*4^n的和. 假设Z为n*4^2的前n项和
Z=1*4+2*4^2+3*4^3+````````+(n-1)*4^(n-1)+n*4^n
4Z=4^2+2*4^3+3*4^4+`````+(n-1)*4^n+n*4^(n+1)
两个式子相减得到-3Z=4+4^2+4^3+``````+4^n-n*4^(n+1)=4(4^n-1)/3-n*4^(n+1)
所以Z=-4(4^n-1)/9+n*4^(n+1)/3
所以Tn=8Z+4*4(4^n-1)/3=8n*4^(n+1)/3-32(4^n-1)/9+16(4^n-1)/3=8n*4^(n+1)/3+16(4^n-1)/9
(3)Cn=QUR，其中C1是Q并R中的最小数
经计算得到C1=6
又因为等差数列{Cn}的110<C10<115,
设Cn
的公差为d.
C10=C1+(10-1)d=6+9d
110<6+9d<115,
因为d是整数。所以d=12
{Cn}的通项公式Cn=C1+（n-1)12=12n-6

Answer 2

解：（1）∵对任意n∈N
*
，都有a
n
=
2
3
（S
n
+n），且S
1
=a
1
，
∴a
1
=
2
3
（S
1
+1）=
2
3
（a
1
+1），得a
1
=2…1分
又由a
n
=
2
3
（S
n
+n），得S
n
=
3
2
a
n
-n，
当n≥2且n∈N
*
时，有a
n
=S
n
-S
n-1
=（
3
2
a
n
-n）-[
3
2
a
n-1
-（n-1）]=
3
2
a
n
-
3
2
a
n-1
-1，…3分
即a
n
-3a
n-1
=2，
∴a
n
+1=3（a
n-1
+1），由此表明{a
n
+1}是以a
1
+1=3为首项，3为公比的等比数列．
∴a
n
+1=3•3
n-1
=3
n
，
∴a
n
=3
n
-1…5分
故数列{a
n
}的通项公式为a
n
=3
n
-1…6分
（2）na
n
=n（3
n
-1）=n•3
n
-n，设数列{n•3
n
}的前n项和为K
n
，
则K
n
=1•3
1
+2•3
2
+3•3
3
+…+n•3
n
…8分
∴3K
n
=1•3
2
+2•3
3
+3•3
4
+…+n•3
n+1
，
两式相减，得
-2K
n
=3
1
+3
2
+3
3
+…+3
n
-n•3
n+1
=
3(1−3n)
1−3
-n•3
n+1
…10分
∴K
n
=
(2n−1)•3n+1+3
4
…12分
因此T
n
=K
n
-
n(n+1)
2
=
(2n−1)•3n+1−2n(n+1)+3
4
…14分