高等数学,有关z=f(x,y)是否可微的判断问题!
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结论“偏导连续则可微”在做题的时候用的并不多,除非两个偏导数的形式很简单,因为二元函数的连续性并不像一元函数那么容易判定。何况我们只是讨论一个点处的可微性,无需求出偏导函数
判断函数F(x,y)在(x0,y0)处是否可微的步骤:
(1)先判断连续性,即讨论(x,y)→(x0,y0)时,F(x,y)的极限值是否等于函数值F(x0,y0)。若不连续,则不可微;若连续,继续下一步
(2)求(x0,y0)处的偏导数。若偏导数至少有一个不存在,则不可微;若两个偏导数都存在,继续下一步
(3)说明△z-Fx(x0,y0)△x-Fy(x0,y0)△y是ρ的高阶无穷小,即判断
[△z-Fx(x0,y0)△x-Fy(x0,y0)△y
]/ρ
是否趋向于0,若是,则可微,否则不可微
判断函数F(x,y)在(x0,y0)处是否可微的步骤:
(1)先判断连续性,即讨论(x,y)→(x0,y0)时,F(x,y)的极限值是否等于函数值F(x0,y0)。若不连续,则不可微;若连续,继续下一步
(2)求(x0,y0)处的偏导数。若偏导数至少有一个不存在,则不可微;若两个偏导数都存在,继续下一步
(3)说明△z-Fx(x0,y0)△x-Fy(x0,y0)△y是ρ的高阶无穷小,即判断
[△z-Fx(x0,y0)△x-Fy(x0,y0)△y
]/ρ
是否趋向于0,若是,则可微,否则不可微
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