Question

求椭圆x=acosө,y=bsinө所围成图形的面积A

Answer 1

由x=acosθ，y=bsinθ是椭圆方程：
两边平方：x²=a²cos²θ，y²=b²sin²θ，
cos²θ=x²/a²，sin²θ=y²/b²，
∴x²/a²+y²/b²=1，
令x=acosα，dx=-asinαdα，
当积分上限为x=a时，α=0，x=-a时，α=π，
S=πab。（在定积分的应用都有，对y=b√（a²-x²）/a积分即可。）

Answer 2

x
=
a*cosθ，则
dx
=
a
*
(-sinθ)
*
dθ
y
=
b*sinθ，则
dy
=
b
*
cosθ
*
dθ
那么，
x*dy
-
y*dx
=(a*cosθ)*(b*cosθ*dθ)
-
(b*sinθ)*(-a*sinθ*dθ)
=ab*(cosθ)^2
*dθ
+
ab
*(sinθ)^2
*dθ
=ab
*
[(cosθ)^2
+
(sinθ)^2]
*
dθ
=ab
*
dθ
下面再继续对
dθ
进行积分就应该不是难题了吧？