Question

在△ABC中 AB=AC ∠A=100 BD是∠ABC的平分线 求证AD+BD=BC

Answer 1

证明：在BC上取BE=BD，连接DE，
因为BD是∠ABC的平分线，
∠A=100
，AB=AC,
所以∠BDE=∠BED=80，
∠EDC=∠BED-=∠ACB=80-40=40，
所以DE=EC，
在△EDC和△ABC中，，
∠EDC=∠ABC，∠ACB为公共角，
所以△EDC∽△ABC,所以AB/DE=BC/CD，
即AB/BC=DE/CD，
又DE=EC,所以AB/BC=EC/CD，
又因为BD是∠ABC的平分线，
所以AB/BC=AD/CD,
所以EC=AD,
所以AD+BD=EC+BD=EC+BE=BC
在BC上截取BE等于BA,延长BD至F使得DF=AD.
易证△ABD≌△BDE,∴AD=DE且∠BDE=∠A=100°∴∠DEC=80°∵DF=AD∴DE=DF
∵∠C=40°∴∠EDC=60°。显然∠CDF=60°且DC为公共边，∴△DEC≌△CFD,
∴∠CFD=∠CED=80°且∠BCF=∠BCD+∠FCD=40+40=80°即∠BFC=∠BCF,∴BF=BC,即BD+DF=BC即为BD+AD=BC。