Question

如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD= 2

Answer 1

解：平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=
2
，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'-BCD，
使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'-BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，
BC的中点就是球心，所以BC=
3
，球的半径为：
32
；
所以球的体积为：
4π3
×
(
32
)
3
=
32
π
；
故答案为：
32
π
．

Answer 2

先认真地画个图
1、
不难发现ab⊥cd，于是就奔着这个方向而去：
设cd中点为e
连结ae、be
∵ab=cd=bd=ac=ad
∴△acd、△bcd为正三角形
∴be⊥cd，ae⊥cd
又ae∩be=e
∴cd⊥面abe
∴cd⊥ab
∴ab、cd所成角为90°
2、
这个稍微烦一点，你可以考虑建立空间坐标系。那样就要过b点做面acd的垂线，然后cd、ae和做出来的垂线就作为三个轴。
我这里说说不建系的方法：
不建系除了平行和垂直外，其它的都要把两条直线摆进同一个三角形内。所以要做平行线。
连结pd交be于f，则bf:fe=df:fp=2:1（三角形中线相互分为2:1的两个线段——有这种结论的）
在△dap中，过f作fg平行于ap交ad于g
在△ebd中，过f作fh平行于bd交ed于h
连结hg
则：ap与bd的夹角就是fg与fh的夹角α
显然利用平行和之前提过的比例关系可以算出：
fg=2ap/3，fh=bd/3=2/3
∵eh:hd=ef:fb=1:2
ag:gd=pf:fd=1:2
∴hg=2ae/3
在△abc中，可以用余弦定理算出cos角abc，进而算出ap=√6/2
∴fg=√6/3
在△acd中，易算出ae=√3，进而算出hg=2√3/3
那么△fgh的三边都算出来了，只需用余弦定理就可以算出α了：
cos
α
=
(fh²+fg²-hg²)/(2*fh*fg)
=
-√6/12
∵线线角取锐角
∴ap、bd夹角的余弦值为√6/12