已知abc为正实数,a+b+c=1 求证a²+b²+c²≥1/3

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庞秀花禹子
2019-10-30 · TA获得超过3.7万个赞
知道大有可为答主
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第一种
直接:
3(a²+b²+c²)=(a²+b²+c²+a²+b²+c²+a²+b²+c²)
=(a²+b²+c²+(a²+b²)+(a²+c²)+(b²+c²))
≥(a²+b²+c²+2ab+2bc+2bc)=(a+b+c)²=1
所以a²+b²+c²≥1/3
第二种
可以用柯西不等式
(1²+1²+1²)*(a²+b²+c²)≥(1*a+1*b+1*c)²
化简可得a²+b²+c²≥1/3
第三种:
可以构造
构造函数:f(X)=(a²+b²+c²)X²+2(a+b+c)X+3
所以f(X)=(a²X²+2aX+1)+(b²X²+2bX+1)+(c²X²+2cX+1)=
(ax+1)²+(bx+1)²+(cx+1)²≥0
故知:f(X)在X轴上方
所以△≤0
即(2(a+b+c))²-4*(a²+b²+c²)*3≤0
得a²+b²+c²≥1/3
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