在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC,试说明：BD²=AB²+BC²
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解：分析:待证明的等式说明AB,BC,BD三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它们集中到一起.从条件容易知道,三角形ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形BCD作旋转变换.得到以下证明方法:
证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°
则△ACD是等边三角形.
过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE
则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°
∴△BCE是正三角形,
又∠ACE=∠ACB＋∠BCE
=∠ACB＋60°
∠DCB=∠ACB＋∠ACD
=∠ACB＋60°
∴∠ACE=∠DCB
又DC=AC,BC=CE
所以△DCB≌△ACE
所以AE=BD
在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2
即BD^2=AB^2＋BC^2
证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°
则△ACD是等边三角形.
过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE
则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°
∴△BCE是正三角形,
又∠ACE=∠ACB＋∠BCE
=∠ACB＋60°
∠DCB=∠ACB＋∠ACD
=∠ACB＋60°
∴∠ACE=∠DCB
又DC=AC,BC=CE
所以△DCB≌△ACE
所以AE=BD
在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2
即BD^2=AB^2＋BC^2
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