Question

数学题 高三双曲线

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A1,A2,右焦点为F(2,0),点P为双曲线上一点，向量PF*向量A1A2=0, 向量PA1*向量PA2=4/3. <1>求双曲线的方程;<2>若双曲线上有两个不同的点M.N，点E(0,-1)，当向量MN=f(3,1)，且|向量EM|=|向量EN|时，求三角形MON的面积，O为原点。

Answer 1

解:1)因为
PF*A1A2=0;所以PF垂直于x轴，设P在x轴上方
易得，A1(-a，0);A2(a，0);F(c，0);P(c，b^2/a)其中c=2;
PA1*PA2=c^2-a^2+b^4/a^2=4/3;
解得
a^2=3,b^2=1;
方程为
x^2/3-y^2=1;
2)因为MN与向量(3,1)平行
可设直线MN:x-3y+m=0;
与双曲线联立得:
6y^2-6my+m^2-3=0
两根
y1+y2=m,
y1*y2=(m^2-3)/6;
设MN中点为Q(x0,y0);
有
y0=m/2;带入直线方程得:x0=m/2;
因为|EN|=|EM|,所以
EQ*(3，1)=0
(向量垂直)
解得m=-1/2;
MN:x-3y-1/2=0;
O到直线的距离为d=√10/20;
MN之间的距离由弦长公式|MN|=(5√10)/(2√3);
求得三角形MON面积为(5√3)/24;
希望没有算错