Question

一道傅里叶系数高等数学题

设函数f(x)是以2π为周期的连续函数，a0,an,bn(n=1,2,…)为其傅氏系数，求函数F(x)的傅氏系数。

Answer 1

利用的结论：二重积分改变积分次序；周期函数的定积分的性质
A0＝1/π×∫(-π～π)F(x)dx＝1/π×1/π×∫(-π～π)[∫(-π～π)f(t)f(t+x)dt]dx＝1/π×1/π×∫(-π～π)f(t)dt ∫(-π～π) f(t+x)dx＝1/π×1/π×∫(-π～π)f(t)dt ∫(-π～π) f(u)du＝[1/π×∫(-π～π)f(t)dt]^2＝a0^2

其他两个系数的推导是类似的

Answer 2

利用的结论：二重积分改变积分次序；周期函数的定积分的性质
A0＝1/π×∫(-π～π)F(x)dx＝1/π×1/π×∫(-π～π)[∫(-π～π)f(t)f(t+x)dt]dx＝1/π×1/π×∫(-π～π)f(t)dt ∫(-π～π) f(t+x)dx＝1/π×1/π×∫(-π～π)f(t)dt ∫(-π～π) f(u)du＝[1/π×∫(-π～π)f(t)dt]^2＝a0^2

其他两个系数的推导是类似的