Question

已知函数.求函数的值域;若对任意实数,,恒成立,求实数的取值范围.

已知函数. 求函数的值域; 若对任意实数,,恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

利用绝对值三角不等式的几何意义即可求得函数的值域;
依题意,,又,于是得,通过分类讨论,去掉绝对值符号,解之即可.
解:,
函数的值域为(分)
因为,所以对任意实数,恒成立,
由绝对值三角不等式的性质可得:,分
所以,即分
当时,,解得:;
当时,恒成立;
当时,,解得:分
综上所述,实数的取值范围为分
本题考查绝对值不等式的解法,着重考查绝对值三角不等式的性质及其应用,考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.