Question

在三角形ABC中已知a+c=2b A-C=π/3，求sinb

必须要用余弦的方法做

Answer 1

解:根据正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
得:a=(sinA/sinB)*b
c=(sinC/sinB)*b
将其带入已知条件
a+c=2b中
可得sinA+sinC=2sinB
根据三角函数和公式
sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]
*
cos[(A-C)/2]
∴A+B+C=∏
∵sin[(A+C)/2]=sin[(∏-B)/2]=sin(∏/2-B/2)=cos(B/2)
∴A-C=60°
∵cos[(A-C)/2]=cos30°=(√3)/2
∵sinA+sinC=√3*cos(B/2)=2sinB
根据倍角公式
sinB=2sin(B/2)cos(B/2)
√3*cos(B/2)=4sin(B/2)cos(B/2)
sin(B/2)=(√3)/4
cos(B/2)=√(1-((√3)/4)^2)
=(√13)/4
sinB=2sin(B/2)cos(B/2)=(√39)/8