Question

一个扇形的周长为20，求它的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大

Answer 1

解，设扇形圆心角为x，半径为r
那么2r+rx=20，现在要求的是xr^2/2的最大值
2r*rx≤[（2r+rx)/2]^2
=100
也就是2xr^2最大取100，所以xr^2/2最大取25
当且仅当2r=rx时取最大，这时x=2，相应r=5
也就是当半径为5，圆心角为2（注意，是弧度）时，扇形面积最大

Answer 2

设半径是r，
圆心角
是a（弧度）
则圆弧长=ra
所以周长=ra+
2r
=20
a=(20/r)-2
面积=πr^2*(a/2π)=ar^2/2=[(20/r)-2]*r^2/2=10r-r^2=-(r-5)^2+25
所以r=5时，面积有最大值
此时a=(20/r)-2=2(rad)