计算曲面积分,其中Σ为旋转抛物面z=x²+y²,0≤z≤1部分,取下侧?

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shawhom
高粉答主

2021-09-12 · 喜欢数学,玩点控制,就这点爱好!
shawhom
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过程与结果如下,可以先补平面,然后利用高斯公式求解

sjh5551
高粉答主

2021-09-12 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
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补充平面 ∑1 : z = 1(x^2+y^2 ≤ 1), 取上侧, 与 ∑ 组成封闭曲面,则
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1> - ∫∫<∑1>, 前者用高斯公式, 后者 z = 1, dz = 0,
I = ∫∫∫<Ω> 3dxdydz - ∫∫ < x^2+y^2 ≤ 1 > dxdy
= 3∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dt∫<0, z> rdr - π
= 6π∫<0, 1>(z^2/2)dz - π = π[z^3]<0, 1> - π = 0
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