Question

已知如图，O为△ABC内一点 试说明½AB+½AC+½BC＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC

Answer 1

证明：
延长BO交AC于D,
在△ABD中，AB+AD>BD,即AB+AD>BO+OD(1),
在△OCD中，OD+CD>OC(2),
(1)+(2),得，
AB+AD+OD+CD>OB+OD+OC,
即:AB+AC>OB+OC,
同理：AB+BC>OA+OC,
BC+AC>OA+OB,
三式相加，得，
2（AB+BC+AC）>2(OA+OB+OC),
即OA+OB+OC<AB+AC+BC,
又在△OAB中，OA+OB>AB,
OB+OC>BC,
OA+OC>AC,
两式相加，所以OA+OB+OB+OC+OA+OC>AB+BC+AC,
所以2（OA+OB+OC）>AB+BC+AC
即:½AB+½AC+½BC＜OA+OB+OC
综合上面，得，½AB+½AC+½BC＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC