Question

高中数学问题--曲线方程

我目前完全没有接触过曲线方程,没有教,只能凭借自己对数学的感觉做,但没教过毕竟不行!!!

已知a＞0,函数f(x)=x^3-a,x∈[0,+∞)。设m＞0,记曲线y=f(x)在点M(m,y(m))处的切线l。

(1)求l的方程;
(2)设l与x轴的交点为(n,0)。证明:
①n≥a^(1/3)
②若m＞a^(1/3),则a^(1/3)＜n＜m

Answer 1

楼上说得不错，我还是继续吧。
解：1)由导数的知识可得：L的斜率是3m^2
因为L过点（m,m^3-a)，即可得l的方程为：
y=3m^2*x-2m^3-a (x＞0)
2）1 证明：当y=0时，x=n=(2m^3+a)/3m^2
因为m>0,(2m^3+a)/3m^2上下同除m^2
又因为a+b+c≥3(a*b*c)^(1/3)(当a=b=c时取等号）
则，n=(2m+a/m^2)/3
=(m+m+a/m^2)/3
≥3(m*m*a/m^2)/3
≥a^(1/3) （当m=a/m^2时，即a=m^(1/3)时取等号）

2 因为m＞a^(1/3),即a<m^3,与a=m^(1/3）不符
所以n>a^(1/3).因为n=(2m+a/m^2)/3(请看上面的过程，已推出）
所以n<(2m+m^3/m^2)/3=3m/3=m
所以得m>n>a^(1/3)

相信我吧，错不了！

Answer 2

f(x)=x^3-a,f'(x)=3x^2
l的方程y-y(m)=3m^2(x-m)
y(m)=m^3-a
所以
y=3m^2x-3m^3+m^3-a=(3m^2)x-2m^3-a

Answer 3

这不仅仅是曲线方程，这里得用导数，高三才有，小同学你还是先做别的吧。导数已经跟微积分有点关系了。f(x)的导数是3x^2，这也是在(x,y(x))处切线的斜率，知道这个你再试试。