Question

连续型随机变量及其概率密度

Answer 1

例：一个靶子是半径为2m 的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。

定义：若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积
函数f(x)，使对于任意实数x，有
则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度．(因为F(x)由f(t)可积所得，故F(x)必然连续)
注意：

(2)
几何意义：介于曲线y=f(x)与x轴之间区域面积是1.

(3)

几何意义:X落在区间(x ₁ ，x ₂ ]的概率等于区间(x ₁ ，x ₂ ]上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积.

(4)若 在x ₀ 处连续，则必有F'(x ₀ )=f(x ₀ )
若 连续，则 可导，且

(1)连续型随机变量的分布函数F(x)一定连续；
(2)若f(x)在点x ₀ 处连续，则必有F'(x ₀ )=f(x ₀ )
(3)设X为连续型随机变量，a为常数，则P{X=a}=0
(4)s设X为连续型随机变量，则

例：设随机变量X具有概率密度
(1)求常数k；(2)求X的分布函数F(x);(3)求
解：（1）

(3)