Question

已知函数f(x)=(x^2-x-(1/a))*e^(ax)

求曲线y=f(x)在点A（0，f(0))处的切线方程
当a<0时，求f(x)的单调区间
当a>0时，若f(x)+(3/a)>=0对x∈[-3/a,+∞）恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f(0)=-(1/a)*e^(0)=-1/a;
f'(x)=a·(2x-1)*e^(ax),则f'(0)=-a.
则在点A（0，f(0))处的切线方程是y=-1/a-a·x.

当a<0时，使f'(x)=0,即a·(2x-1)*e^(ax)=0,得
x=1/2.
而f''(x)=a·[2·e^(ax)+a·(2x-1)*e^(ax)]
=a·[2-a+2a·x]·e^(ax),
→f''(1/2)=2a·e^(a/2)<0.凸性.
则说明:
在区间(-∞,0)上,f(x)的单调递增;
在区间[0,+∞)上,f(x)的单调递减.

当a>0时，使f'(x)=0,即a·(2x-1)*e^(ax)=0,得
x=1/2.
而f''(x)=a·[2·e^(ax)+a·(2x-1)*e^(ax)]
=a·[2-a+2a·x]·e^(ax),
→f''(1/2)=2a·e^(a/2)>0,函数凹性。
则:
只要最小值
f(1/2)+(3/a)=-（1/4+(1/a))*e^(a/2)+(3/a)≥0即可.