Question

什么叫完全数? 什么叫不完全数?

Answer 1

完全数（Perfect number）,又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数.它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数）,恰好等于它本身.
举例
例如：第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1+2+3＝6.第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,1+2+4+7+14＝28.后面的数是496、8128等等.　　例如：　　6＝1+2+3 　　28＝1+2+4+7+14 　　496＝1+2+4+8+16+31+62+124+248 　　8128＝1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
完全数有许多有趣的性质：
1、它们都能写成连续自然数之和
　　例如：　　6＝1+2+3 　　28＝1+2+3+4+5+6+7 　　496＝1+2+3+……+30+31
2、每个都是调和数
　　它们的全部因数的倒数之和都是2,因此每个完全数都是调和数.例如：　　1/1+1/2+1/3+1/6＝2 　　1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28＝2
3、可以表示成连续奇立方数之和
　　除6以外的完全数,还可以表示成连续奇立方数之和.例如：　　28＝1^3+3^3 　　496＝1^3+3^3+5^3+7^3 　　8128＝1^3+3^3+5^3+……+15^3 　　33550336＝1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3
4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和
　　例如：　　6＝2^1+2^2 　　28＝2^2+2^3+2^4 　　8128＝2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12 　　33550336＝2^12+2^13+……+2^24
5、完全数都是以6或8结尾
　　如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.
6、各位数字相加直到变成个位数则一定是1
　　除6以外的完全数,把它的各位数字相加,直到变成个位数,那么这个个位数一定是1.（亦即：除6以外的完全数,被9除都余1） 　　28：2+8＝10,1+0＝1 　　496：4+9+6＝19,1+9＝10,1+0＝1