Question

数列求和的问题 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=? 最好有推倒过程

Answer 1

首先,用公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
可以求出
1+2+...+n=n(n+1)/2.方法是
(1+1)^2=1^2+2*1*1+1^2=1^2+2*1+1
(2+1)^2=2^2+2*2*1+1^2=2^2+2*2+1
...
(n+1)^2=n^2+2*n*1+1^2=n^2+2*n+1
把所有等式两边加起来
2^2+3^2+...+(n+1)^2=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+(1+1+...+1)
(n+1)^2=1^2+2(1+2+...+n)+n
1+2+...+n=n(n+1)/2
同样方法用公式
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
可以求出
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
以及
1^k+2^k+...+n^k (k=3,4,...)